Question

如图，△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD平分线上一点，EB=EC过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G．
（1）请你在不添加辅助线的情况下找出一对你认为全等的三角形，并加以证明；
（2）若AB=3，AC=5，求AF的长．

Answer 1

分析：已知AE平分∠CAD，EF⊥AC，EG⊥AD及公共边AE，则利用AAS判定△EGA≌△EFA；由△EGA≌△EFA可得到EG=EF，AG=AF，根据HL可判定Rt△EGB≌Rt△EFC，从而得到BG=CF，整理可得到2AF=AC-AB，从而可求得AF的长．

解答：解：（1）△EGA≌△EFA（或△EGB≌△EFC）．
证明：∵AE平分∠CAD，
∴∠EAG=∠EAF．
又∵EF⊥AC，EG⊥AD，
∴∠EGA=∠EFA=90°．
在△AEG和△EFA中：
∠EAG=∠EAF，∠EGA=∠EFA，AE=AE，
∴△EGA≌△EFA（AAS）．

证明：（2）∵AE平分∠CAD且EF⊥AC，EG⊥AD，
∴EG=EF，∠EGB=∠EFC=90°．
在Rt△EGB和Rt△EFC中

EG=EF EB=EC

．
∴Rt△EGB≌Rt△EFC（HL）．
∴BG=CF．（10分）
又∵BG=AB+AG，CF=AC-AF，
即AB+AG=AC-AF，
又∵△EGA≌△EFA，
∴AG=AF．
∴2AF=AC-AB=5-3=2．
∴AF=1．

点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．