Question

14．如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别交于点M，N，则下列结论正确的是（　　）

• A． EM：AE=2：$（\sqrt{5}-1）$
• B． MN：EM=$（\sqrt{5}-1）$：$（3-\sqrt{5}）$
• C． AM：MN=$（3-\sqrt{5}）$：$（\sqrt{5}-1）$
• D． MN：DC=$（3-\sqrt{5}）$：2

Answer 1

分析 根据正五边形的性质得到∠DAE=∠DAE，∠ADE=∠AEM=36°，推出△AME∽△AED，根据相似三角形的性质得到，得到AE²=AD•AM，等量代换即可得到论．

解答 证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴DE=AE=AB，∠AED=∠EAB=108°，
∴∠ADE=∠AEM=36°，
∴△AME∽△AED，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{EM}{AE}$，
∴AE²=AD•AM，
∵AE=DE=DM，
∴DM²=AD•AM，
设AE=DE=DM=2，
∴2²=AM（AM+2），
∴AM=$\sqrt{5}$-1，（负值设去），
∴EM=BN=AM=$\sqrt{5}$-1，AD=$\sqrt{5}$+1，
∵BE=AD，
∴MN=BE-ME-BN=3-$\sqrt{5}$，
∴MN：CD=$（3-\sqrt{5}）$：2，
故选D．

点评 本题考查了正五边形的性质、全等三角形的判定和性质，黄金分割，熟记正五边形的性质是解题的关键．