Question

如图，抛物线与轴的交点为A、B，与 轴的交点为C，顶点为,将抛物线绕点B旋转，得到新的抛物线,它的顶点为D.

（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线与轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF.如果P点的坐标为，△PEF的面积为S，求S与的函数关系式，写出自变量的取值范围；
（3）设抛物线的对称轴与轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由.

Answer 1

（1）抛物线n的解析式为 （2）S= （3）直线CM与⊙G相切；证明所以直线CM与⊙G相切

试题分析：（1）∵抛物线m的顶点为，∴m的解析式为：
解方程：得：x₁=" -2" ,x₂=8 ∴       
∵抛物线n是由抛物线m绕点B旋转得到，∴D的坐标为 
∴抛物线n的解析式为：，即 
（2）∵点E与点A关于点B中心对称，∴E, 设直线ED的解析式为，
则，解得 ∴直线ED的解析式为 
又点P的坐标为，∴S==–xy=
即S= 
（3）直线CM与⊙G相切  
理由如下：∵抛物线m的解析式为y=，令得.∴
∵抛物线m的对称轴与轴的交点为G，∴OC=4，OG=3，∴由勾股定理得CG=5
又∵AB=10，∴⊙G的半径为5，∴点C在⊙G上 

过M点作y轴的垂线，垂足为N，则
又，
∴ ∴根据勾股定理逆定理，得∠GCM=90⁰
∴ ∴直线CM与⊙G相切 
点评：本题考查抛物线，勾股定理，直线与圆相切，要求考生掌握用待定系数法求函数的解析式，会判定直线与圆相切，熟悉勾股定理的内容