Question

19．如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．
（1）若$\frac{AD}{DB}$=$\frac{1}{3}$，AE=2，求EC的长；
（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）易证DE∥BC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解；
（2）分三种情况讨论：①若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线；②若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线；③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，
∵$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{3}$，AE=2，
∴EC=6；
（2）①如图1，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线．
证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，
又∵∠CFG=∠ECD，
∴∠CGF=∠PCG，
∴CP=PG，
∵∠CFG=∠ECD，
∴CP=FP，
∴PF=PG=CP，
∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；
②如图2，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．
证明：∵DE⊥AC，
∴∠EDC+∠ECD=90°，
∵∠CFG=∠EDC，
∴∠CFG+∠ECD=90°，
∴∠CPF=90°，
∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．
③如图3，当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．

点评 本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概念，分类讨论，能全面的思考问题是解决问题的关键．