Question

△ABC中，AB=AC，D、E分别是边AC、BC上的一点，AE、BD交于点F，连接DE，且∠BAC=∠AFD=α，
（1）如图1，若α=90°，线段AD、AC具有怎样的数量关系时，∠ADB=∠CDE；
（2）如图2，若α=60°，线段AD、AC具有怎样的数量关系时，∠ADB=∠CDE；

Answer 1

证明：（1）过点C作AC垂线交AE延长线于G，
则∠ACG=90°，
∵∠BAC=∠AFD=90°，
∴∠ABD+∠BAF=90°，∠BAF+∠CAG=90°，
∴∠ABD=∠CAG，
在△ABD和△CAG中，
，
∴△ABD≌△CAG（ASA），
∴AD=CG，∠ADB=∠G，
当∠ADB=∠CDE时，
则∠CDE=∠G，
∵∠ACG=∠BAC=90°，
∴AB∥CG，
∴∠GCE=∠ABC=∠DCE=45°，
在△CDE和△CGE中，
，
∴△CDE≌△CGE（AAS），
∴CG=CD=AD，
∴AD=AC，
∴当AD=AC时，∠ADB=∠CDE；

（2）∵∠AFD=∠BAC=60°，
又∵∠AFD=∠ABD+∠BAE=60°，∠BAE+∠EAC=60°，
∴∠ABD=∠EAC，
∵AB=AC，
∴∠C=∠BAC=60°，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴AD=CE，∠ADB=∠AEC，
当∠ADB=∠CDE时，
则∠AEC=∠CDE，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CEA，
∴，
∴CE²=CD•CA，
∴AD²=（AC-AD）•AC，
即AD²+AD•AC-AC²=0，
∴（不合题意，舍去），
∴当时，∠ADB=∠CDE．
分析：（1）首先过点C作AC垂线交AE延长线于G，由∠BAC=∠AFD=90°，易证得△ABD≌△CAG，继而可证得△CDE≌△CGE，则可得CG=CD=AD，即可得当AD=AC时，∠ADB=∠CDE；
（2）由∠BAC=∠AFD=60°，可得△ABC是等边三角形，易证得△ABD≌△CAE（ASA），继而可得△CDE∽△CEA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得结论．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．