Question

11．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，GD=2CG，连接BG、DE，DE和FG相交于点O．下列结论：
①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③$\frac{DG}{GC}$=$\frac{CO}{CE}$；④4S_△EFO=S_△DGO．
其中正确的结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE；然后延长BG交DE于点H，根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，则可得②BH⊥DE．由△DGF与△DCE相似即可判定③错误，由△GOD与△FOE相似即可求得④．

解答 证明：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
故①正确；

②延长BG交DE于点H，
∵△BCG≌△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠CBG+∠BGC=90°，
∴∠CDE+∠DGH=90°，
∴∠DHG=90°，
∴BH⊥DE；
∴BG⊥DE．
故②正确；

③∵四边形GCEF是正方形，
∴GF∥CE，
∴$\frac{DG}{DC}=\frac{GO}{CE}$，
∴$\frac{DG}{GC}=\frac{GO}{CE}$，是错误的．
故③错误；

④∵DC∥EF，
∴∠GDO=∠OEF，
∵∠GOD=∠FOE，
∴△OGD∽△OFE，
∴$\frac{{S}_{△DGO}}{{S}_{△EFO}}$=（$\frac{DG}{EF}$）²，
∵GD=2CG，
∴EF=CG=$\frac{1}{2}$GD，
∴$\frac{{S}_{△DGO}}{{S}_{△EFO}}$=（$\frac{DG}{EF}$）²=4，
∴4S_△EFO=S_△DGO．
故④正确；
故选C．

点评 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．