Question

16．如图，已知AB是圆O的弦，BO=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A，B重合），连结CD并延长CO交圆O于点D，连结AD，DB．
（1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数．
（2）当AC长度为多少时，以A，C，D为顶点的三角形与以B，C，O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．

Answer 1

分析 （1）连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，则可求得∠DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数；
（3）由∠BCO=∠A+∠D，可得要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，然后由相似三角形的性质即可求得答案．

解答 解：（1）连结OA，如图，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBC=30°，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD=18°，
∴∠DAC=30°+18°=48°
∴∠DOB=2∠DAB=96°；
（2）∵∠BCO=∠A+∠D，
∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，
此时∠BOC=60°，
∴∠DAC=60°，
∴△DAC∽△BOC，
∵∠BCO=90°，
即OC⊥AB，
∴AC=BC，
在Rt△OCB中，∵∠OBC=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$OB=2，BC=$\sqrt{3}$OC=2$\sqrt{3}$，
∴OC=2$\sqrt{3}$，
∴当AC的长度为2$\sqrt{3}$，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、0为顶点的三角形相似．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了圆周角定理．