Question

△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，如图，现在△ABC内作一扇形，使扇形半径都在△ABC的边上，扇形的弧与△ABC的其他边相切，则符合条件的扇形的半径为________．

Answer 1

3，4，，，，
分析：根据在△ABC内作一扇形，使扇形半径都在△ABC的边上，扇形的弧与△ABC的其他边相切应分三种情况：
（1）以2个顶点A、B为圆心，做扇形，半径分别为AC和BC的长；
（2）以顶点C为圆心，做扇形，半径为斜边上的高；
（3）分别以三个内角平分线与对边交点为圆心，做三个扇形，求其半径．
解答：∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5，AB上的高为=．
（1）以A点为圆心，以4为半径作扇形，扇形与BC边相切，符合题意；
（2）以点B为圆心，以3为半径作扇形，扇形与AC边相切，符合题意；
（3）以点C为圆心，以斜边上的高为半径作扇形，扇形与AB边相切，符合题意；

（4）过点A作∠A的平分线交BC于点E，以CE的长为半径作扇形，扇形与AC和AB边相切，
∵tan∠BCA=tan2∠CAE=，
∴tan∠CAE=，
∴半径AE=tan∠CAE×AC=，故以半径作扇形，符合题意；
（5）过点C作∠C的平分线交AB于点F，以EF的长为半径作扇形，扇形与AC和BC边相切，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ACB．
∴=即=．
∵EF=EC，
∴EF=．
故以半径作扇形，符合题意；
（6）过点B作∠B的平分线交AC于点O，以OC的长为半径作扇形，扇形与BC和AB边相切，
∵tan∠ABC=tan2∠OBC=，
∴tan∠OBC=．
半径OC=tan∠OBC×BC=，故以半径作扇形，符合题意；
则符合条件的扇形的半径为3，4，，，，．
点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，在解题过程中应注意一题多解的情况，防止漏解或错解．