Question

【题目】如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．

（1）求证：BF=EF；

（2）求证：PA是⊙O的切线；

（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为3，求BD和FG的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），FG=3．

【解析】

（1）根据切线判定可得EB⊥BC，而AD⊥BC，从而可以确定AD∥BE，那么△BFC∽△DGC，又G是AD的中点，就可得出结论BF=EF．
（2）要证PA是⊙O的切线，就是要证明∠PAO=90°连接AO，AB，根据第1的结论和BE是⊙O的切线和直角三角形的等量代换，就可得出结论．
（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD和FG的长度．

（1）证明：∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，
∴EB⊥BC，又∵AD⊥BC，∴AD∥BE，
∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，，

∵G是AD的中点，∴DG=AG，∴BF=EF．
（2）证明：连结AO，AB，
∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，
在Rt△BAE中，由（1）知F是斜边BE的中点，
∴AF=FB=EF，∴∠FBA=∠FAB，
又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO，
∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO=90°，
∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，
∴PA是圆O的切线．

（3）解：过点F作FH⊥AD于点H，
∵BD⊥AD，FH⊥AD，∴FH∥BC，
由（2）知∠FBA=∠BAF，∴BF=AF，
由已知得BF=FG，∴AF=FG，

∴△AFG是等腰三角形，
∵FH⊥AD，∴AH=GH，

∵DG=AG，∴DG=2HG，，

∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD=90°，

∴四边形BDHF是矩形，BD=FH，
∵FH∥BC，∴△HFG∽△DCG，

，

∵⊙O的半径长为，

解得:，

，

在Rt△FBC中，∵CF=3FG，BF=FG，
∴CF2=BF2+BC2，

解得FG=3（负值舍去）
∴FG=3．