Question

7．如图，将△ABC沿BD对折，使点C落在AB上的点C′处，且∠C=2∠CBD，已知∠A=36°．
（1）求∠BDC的度数；
（2）写出图中所有的等腰三角形（不用证明）

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质可得：∠CBD=∠C′BD，△ABC中，由∠C=2∠CBD，∠A=22°，可求得∠C的度数，进而可求得∠CBD的度数，继而求得答案．
（2）根据等角对等边得出AB=AC，BC=BD=BC′，AD=BD，AC′=DC′，由等腰三角形的概念得△ABC，△ABD，△BCD，△BDC′，△ADC′是等腰三角形．

解答 解：由折叠的性质可得：∠CBD=∠C′BD，
∴∠ABC=2∠CBD，
∵∠C=2∠CBD，
∴∠C=∠ABC，
△ABC中，∠A=22°，
∴∠C=∠ABC=$\frac{180°-36°}{2}$=72°，
∴∠CBD=36°，
∴∠BDC=180°-3×36°=72°．
（2）∵∠C=∠ABC=∠BDC=∠BDC′=∠BC′D=72°，
∴AB=AC，BC=BD=BC′，
∴△ABC，△BCD，△BC′D是等腰三角形，
∵∠ABC=∠BDC=∠BDC′=∠BC′D=72°，
∴∠ABD=∠ADC′=A=36°，
∴AD=BD，AC′=DC′，
∴△ABD，△ADC′是等腰三角形
所以等腰三角形有△ABC，△ABD，△BCD，△BDC′，△ADC′，．

点评 此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，等腰三角形判定；解决此题的关键是熟练掌握运用等腰三角形的判定方法，注意数形结合的解题思想，在图形上找到等腰三角形是解答本题的关键．