Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，P是BC上一点，且DB=DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB=1：3，BC=4

6

，则PE+PF的长是（　　）

• A、4

  6

• B、6
• C、4

  2

• D、2

  6

Answer 1

分析：作PM⊥AC于点M可得矩形AEPM，易证△PFC≌△CMP，得到PE+PF=AC，在直角△ABC中，根据勾股定理就可以求得．

解答：解：（1）作PM⊥AC于点M，可得矩形AEPM
∴PE=AM，利用DB=DC得到∠B=∠DCB
∵PM∥AB．
∴∠B=∠MPC
∴∠DCB=∠MPC
又∵PC=PC．∠PFC=∠PMC=90°
∴△PFC≌△CMP
∴PF=CM
∴PE+PF=AC
∵AD：DB=1：3
∴可设AD=x，DB=3x，那么CD=3x，AC=2

2

x，BC=2

6

x
∵BC=4

6

∴x=2
∴PE+PF=AC=2

2

×2=4

2

．

（2）连接PD，PD把△BCD分成两个三角形△PBD，△PCD，
S_△PBD=

1

2

BD•PE，
S_△PCD=

1

2

DC•PF，
S_△BCD=

1

2

BD•AC，
所以PE+PF=AC=2

2

×2=4

2

．
故选C．

点评：解决本题的关键是作出辅助线，把所求的线段转移到一条线段求解．