Question

如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BC=8，∠B=60°，点M是边BC的中点，点E、F分别是边AB、CD上的两个动点（点E与点A、B不重合，点F与点C、D不重合），且∠EMF=120°．
（1）求证：ME=MF；
（2）试判断当点E、F分别在边AB、CD上移动时，五边形AEMFD的面积的大小是否会改变，请证明你的结论；
（3）如果点E、F恰好是边AB、CD的中点，求边AD的长．

Answer 1

（1）证明：过点M分别作MG⊥AB，MH⊥CD，垂足为点G、H，
∵点M是边BC的中点，
∴BM=CM，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠C=60°，
又∵MG⊥AB，MH⊥CD，
∴∠BGM=∠CHM=90°，
在△BGM与△CHM中，
，
∴△BGM≌△CHM（AAS），
∴MG=MH，∠BMG=∠CMH=30°，
即得∠GMH=∠EMF=120°，
又∵∠EMF=∠EMG+∠GMF，且∠GMH=∠GMF+∠FMH，
∴∠EMG=∠FMH，
在△EGM与△FHM中，
，
△EGM≌△FHM（AAS），
∴ME=MF；

（2）解：当点E、F在边AB、CD上移动时，五边形AEMFD的面积的大小不会改变．
证明：∵△EGM≌△FHM，
∴S_△EMG=S_△FMH，
∴S_{五边形AEMFD}=S_{五边形AGMHD}；

（3）解：方法一：连接AM（在备用图一），
当点E、F恰好是边AB、CD的中点，且AB=CD，得BE=CF．
又∵ME=MF，BM=CM，
∴△BEM≌△CFM（SSS），
∴∠BME=∠CMF，
∵∠EMF=120°，
∴∠BME=（∠180°-∠EMF）=（180°-120°）=30°，
又∵∠B=60°，
∴∠BEM=180°-60°-30°=90°，
∵点E是边AB的中点，
∴ME是边AB的垂直平分线，
∴MA=MB，
∵∠B=60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠AMB=60°，
∴∠AMB=∠C．
∴AM∥CD，
又∵AD∥MC，
∴四边形AMCD是平行四边形，
∴AD=CM，
∵BC=8，BM=CM，
∴CM=4，
∴AD=CM=4．

方法二：当点E、F恰好是边AB、CD的中点，且AB=CD，得BE=CF．
又∵ME=MF，BM=CM，
∴△BEM≌△CFM（SSS），
∴∠BME=∠CMF，
∵∠EMF=120°，
∴∠BME=（∠180°-∠EMF）=（180°-120°）=30°，
又∵∠B=60°，
∴∠BEM=180°-60°-30°=90°，
∵∠BME=30°，
∴BE=BM=2，
∵E是边AB的中点，
∴AB=4，
分别过点A、D作AK⊥BC，DL⊥BC，垂足为点K、L（在备用图二中）．
∵∠B=60°，
∴BK=AB=2，
同理可得，CL=2，
∴KL=8-2-2=4，
∵AK⊥BC，DL⊥BC，AD∥BC，
∴四边形AKLD是矩形，
∴AD=KL=4．
分析：（1）过点M作MG⊥AB，MH⊥CD，先利用角角边证明△BGM与△CHM全等，然后根据全等三角形对应边相等可得MG=MH，然后根据角的关系推出∠EMG=∠FMH，再利用角角边证明△EGM与△FHM全等，根据全等三角形对应边相等即可证明ME=MF；
（2）根据（1）中结论，可知S_△EMG=S_△FMH，所以点E、F移动时，五边形AEMFD的面积始终等于五边形AGMHD的面积，不变；
（3）[方法一]连接AM，然后证明△BEM与△CFM全等，根据全等三角形对应角相等得到∠BME=∠CMF，从而推出ME是AB的垂直平分线，然后证明△ABM是等边三角形，再根据等边三角形的每一个角都是60°得到∠AMB=60°，然后证明四边形AMCD是平行四边形，根据平行四边形对边相等即可求解AD=MC．
[方法二]或先证明出△BEM是直角三角形，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BE的长度，从而得到AB的长度，再过点A作AK⊥BC，D作DL⊥BC，然后求出BK=LC=2，再根据四边形AKLD是矩形即可得解．
点评：本题综合考查了等腰梯形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性较强，仔细分析题意作出辅助线是解题的关键，本题难度较大，对同学们能力要求较高．