Question

【题目】问题探究：在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．

探究1：如图1，若点P是对角线BD上任意一点，求线段AP的长的取值范围；

探究2：如图2，若点P是△ABC内任意一点，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当AP的值在探究1中的取值范围内变化时，△PMN的周长是否存在最小值？如果存在，请求出△PMN周长的最小值，若不存在，请说明理由；

问题解决：如图3，在边长为4的正方形ABCD中，点P是△ABC内任意一点，且AP=4，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当△PMN的周长取到最小值时，直接求四边形AMPN面积的最大值。

Answer 1

【答案】（1）2≤PA≤4；（2）存在，2；（3）16–8.

【解析】

（1）当P与O重合时，PA的值最小，最小值为，当P与B或D重合时，PA的值最大，最大值为4，即可得线段AP的长的取值范围；

（2）存在，如图2中，作点P关于AB、AC的对称点E、F，连接EF交AB于M，交AC于N，连接AE、AF、PA，由PM＋MN＋PN＝EM＋MN＋NF＝EF，推出点P位置确定时，此时△PMN的周长最小，最小值为线段EF的长，由∠PAM＝∠EAM，∠PAN＝∠FAN，∠BAC＝45°，推出∠EAF＝2∠BAC＝90°，由PA＝PE＝PF，推出△EAF是等腰直角三角形，由PA的最小值为，可得线段EF的最小值为2，由此即可解决问题，（3）如图3中，在图2的基础上，以A为圆心AB为半径作⊙A，PA交EF于点O，由△MAP≌△MAE，△NAP≌△NAF，推出S四边形AMPN＝S△AEM＋S△ANF＝S△AEF－S△AMN，由此可以知道△AMN的面积最小时，四边形AMPN面积最大.

（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，边长为4，

∴AC⊥BD，AC=BD=4，

∴当P与O重合时，PA的值最小最小值=2，

当P与B或D重合时，PA的值最大，最大值为4，

∴2≤PA≤4．

（2）存在．

理由：如图2中，作点P关于AB、AC的对称点E、F，连接EF交AB于M，交AC于N，连接AE、AF、PA．

∵PM+MN+PN=EM+MN+NF=EF，

∴点P位置确定时，此时△PMN的周长最小，最小值为线段EF的长，

∵∠PAM=∠EAM，∠PAN=∠FAN，∠BAC=45°，

∴∠EAF=2∠BAC=90°，

∵PA=PE=PF，∴△EAF是等腰直角三角形，

∵PA的最小值为，∴线段EF的最小值为2，

∴△PMN的周长的最小值为2．

（3）8–（8–8）=16–8