Question

如图，已知AD∥BC，点E在AC上且AE=3EC，连接DE并延长它，交BC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）试说明：△ADE∽△CFE；
（2）当EF=2时，
①求

AD

CF

的值和DE的长；
②当点F恰好是BC的中点时，求GF的长；
（3）当

CF

BF

的值为多少时，

GD

GF

=9．请简单说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据AD∥BC，得出∠D=∠EFC，∠DAE=∠C，即可得出△ADE∽△CFE；
（2）①利用相似三角形的性质得出

AD

CF

=

DE

FE

=

AE

CE

，再利用AE=3EC，得出即可；
②首先得出△AGD∽△BGF，进而求出

FD

GF

=2，即可得出GF的长；
（3）由

AD

CF

=3，

FC

BF

=3，得出

AD

CF

•

FC

BF

=9，即可得出答案．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠D=∠EFC，∠DAE=∠C，
∴△ADE∽△CFE．

（2）①∵△ADE∽△CFE，
∴

AD

CF

=

DE

FE

=

AE

CE

．
∵AE=3EC，
∴

AE

CE

=3，
∴

AD

CF

=3，DE=3FE=3×2=6．
②∵点F是BC的中点，
∴BF=CF．
∵

AD

CF

=3，
∴

AD

BF

=3．
∵AD∥BC，
∴△AGD∽△BGF，
∴

GD

GF

=

AD

BF

=3
∴

FD

GF

=2．
由①可知：FD=FE+ED=2+6=8，
∴GF=4．

（3）当

CF

BF

=3时，

GD

GF

=9，理由如下：
∵

AD

CF

=3，

FC

BF

=3，
∴

AD

CF

•

FC

BF

=9，
即

AD

BF

=9，
∴

GD

GF

=

AD

BF

=9．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练利用相似三角形的性质得出对应线段之间的比值是解题关键．