Question

19．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=3cm，DC=8cm，AD=4cm，动点P从点B出发，沿折线BA-AC向终点C做匀速运动，点P在线段BA上的运动速度是5cm/s；在线段AC上的运动速度是$\sqrt{5}$cm/s，当点P不与点B、C重合时，过点P作PQ⊥BC于点Q，将△PBQ绕PQ的中点旋转180°得到△QB′P，设四边形PBQB′与△ABD重叠部分图形的面积为y（cm²），点P的运动时间为x（s）．
（1）用含x的代数式表示线段AP的长．
（2）当点P在线段BA上运动时，求y与x之间的函数关系式．
（3）当经过点B′和△ADC一个顶点的直线平分△ADC的面积时，直接写出x的值．

Answer 1

分析 （1）分两种情形讨论即可．
（2）分两种情形①如图1中，当0＜x≤$\frac{1}{2}$时，重叠部分是四边形PBQB′．②如图2中，当$\frac{1}{2}$＜x≤1，重叠部分是五边形PBQMN．分别求解即可．
（3）分三种情形①如图3中，当PA=B时，PB′是△ABD是中位线．②如图4中，设AB′的延长线交BC于G．③如图5中，连接DB′交AC于N，延长B′P交AD于T，作NM⊥PB′于M，NH⊥AD于H．分别构建方程即可解决问题．

解答 解：（1）当0＜x≤1时，PA=5t，
当1＜x＜5时，PA=$\sqrt{5}$（x-1）=$\sqrt{5}$x-$\sqrt{5}$．

（2）如图1中，当0＜x≤$\frac{1}{2}$时，重叠部分是四边形PBQB′．

∵PQ⊥BC，AD⊥BC，
∴PQ∥AD，
∴$\frac{PQ}{AD}$=$\frac{PB}{BA}$=$\frac{BQ}{BD}$，
∴$\frac{PQ}{4}$=$\frac{5x}{5}$=$\frac{BQ}{3}$，
∴PQ=4x，BQ=3x，
由题意四边形PBQB′是平行四边形，
∴y=BQ•PQ=12x²，
如图2中，当$\frac{1}{2}$＜x≤1，重叠部分是五边形PBQMN．

∵PN∥BD，
∴$\frac{PN}{BD}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴PN=3（1-x），B′N=3x-3（1-x）=6x-3，易知MN=4（2x-1），
∴y=12x²-$\frac{1}{2}$•（6x-3）•4（2x-1）=-12x²+24x-6．
综上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{12{x}^{2}}&{（0＜x≤\frac{1}{2}）}\\{-12{x}^{2}+24x-6}&{（\frac{1}{2}＜x＜5）}\end{array}\right.$．

（3）如图3中，当PA=B时，PB′是△ABD是中位线．
∴AB′=DB′，此时CB′平分△ADC的面积，此时x=$\frac{1}{2}$．

如图4中，设AB′的延长线交BC于G．

当DG=GC=4时，AB′平分△ADC的面积，
∵PB′∥BG，
∴$\frac{PB′}{BG}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{3x}{7}$=$\frac{5-5x}{5}$，
∴x=$\frac{7}{10}$．

如图5中，连接DB′交AC于N，延长B′P交AD于T，作NM⊥PB′于M，NH⊥AD于H．

由题意PA=$\sqrt{5}$（x-1），AT=x-1，TP=2（x-1），PB′=BQ=3+2（x-1）=2x+1，
当AN=CN时，DB′平分△ADC的面积，
∴可得AH=HD=2，HN=TM=2，
∴B′M=TB′-MT=2（x-1）+2x+1-4=4x-5，MN=2-（x-1）=3-x，TD=4-（x-1）=5-x，
∵MN∥TD，
∴$\frac{MN}{TD}$=$\frac{MB′}{TB′}$，
∴$\frac{3-x}{5-x}$=$\frac{4x-5}{4x-1}$，
∴x=$\frac{11}{6}$，
综上所述，x=$\frac{1}{2}$s或$\frac{7}{10}$s或$\frac{11}{6}$s时，经过点B′和△ADC一个顶点的直线平分△ADC的面积．

点评 本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、分段函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，学会分类讨论解决问题，属于中考压轴题．