Question

2．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．
（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的面积为18$\sqrt{3}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形CODE是菱形，由矩形的性质可知四边形OCED的面积为矩形ABCD面积的一半，问题得解．
（2）根据矩形的面积是菱形的面积的两倍，设AC=x，求出AB、BC，列出方程即可解决问题．

解答 （1）解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC，
∴四边形CODE是菱形；
∵AB=6，BC=8，
∴矩形ABCD的面积=6×8=48，
∵S_△ODC=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD=12，
∴四边形OCED的面积=2S_△ODC=24．

（2）由（1）可知，S_矩形ABCD=2S_菱形ODEC=36$\sqrt{3}$，设AC=x，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$x，BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴$\frac{1}{2}$x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=36$\sqrt{3}$，
∴x²=144，
∵x＞0，
∴x=12，
∴AC=12．

点评 本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．