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    （2012•高安市二模）如图，在下列矩形ABCD中，已知：AB=a，BC=b（a＜b），假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，现给出（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个命题：
    命题（Ⅰ）：图①中，若AH=BG=AB，则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；
    命题（Ⅱ）：图②中，若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点，则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；
    命题（Ⅲ）：图③中，若EF垂直平分对角线AC，变BC于点E，交AD于点F，交AC于点O，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．
    请解决下列问题：
    （1）命题（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）都是真命题吗？请你在其中选择一个，并证明它是真命题或假命题；
    （2）画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的，但不全等的内接菱形）．
    （3）试探究比较图①，②，③中的四边形ABGH、EFGH、AECF的面积大小关系．
    分析：（1）①先证明是平行四边形，再根据一组邻边相等证明；
    ②根据三角形中位线定理得到四条边都相等；
    ③先根据三角形全等证明是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明是菱形；
    （2）先作一条对角线，在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交，连接四个交点即可．
    （3）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三种情况讨论．
    解答：解：（1）都是真命题；
    若选（Ⅰ）证明如下：
    ∵矩形ABCD，
    ∴AD∥BC，
    ∵AH=BG，
    ∴四边形ABGH是平行四边形，
    ∴AB=HG，
    ∴AB=HG=AH=BG，
    ∴四边形ABGH是菱形；
    若选（Ⅱ），证明如下：
    ∵矩形ABCD，
    ∴AB=CD，AD=BC，
    ∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
    ∵E、F、G、H是中点，
    ∴AE=BE=CG=DG，AH=HD=BF=FC，
    ∴△AEH≌△BEF≌△DGH≌△GCF，
    ∴EF=FG=GH=HE，
    ∴四边形EFGH是菱形；
    若选（Ⅲ），证明如下
    ∵EF垂直平分AC，
    ∴FA=FC，EA=EC，
    又∵矩形ABCD，
    ∴AD∥BC，
    ∴∠FAC=∠ECA，
    在△AOF和△COE中，
    ∠AOF=∠COE=90°
    AO=CO
    ∠FAO=∠ECO
    ，
    ∴△ADF≌△COE（ASA）
    ∴AF=CE，
    ∴AF=FC=CE=EA，
    ∴四边形AECF是菱形；

    （2）如图4所示：AH=CF，EG垂直平分对角线FH，四边形HEFG是菱形；


    （3）SABGH=a2 ，
    SEFGH=
    1
    2
    ab，
    S菱形AECF=
    a(a2+b2)
    2b
    ，
    ∵
    a(a2+b2)
    2b
    -a2=
    a(a2+b2)-2a2b
    2b
    =
    a(a-b)2
    2b
    ＞0（b＞a）
    ∴S菱形AECF＞SABGH．
    ∵
    a(a2+b2)
    2b
    -
    1
    2
    ab=
    a(a2+b2)-ab2
    2b
    =
    a(a2+b2-b2)
    2b
    =
    a3
    2b
    ＞0，
    ∴S菱形AECF＞SEFGH．
    ∵a2 -
    1
    2
    ab=a（a-
    1
    2
    b）
    ∴当a＞
    1
    2
    b，即0＜b＜2a时，S菱形ABGH＞S菱形EFGH；
    当a=
    1
    2
    b，即b=2a时，S菱形ABGH=S菱形EFGH；
    当a＜
    1
    2
    b，即b＞a时，S菱形ABGH＜S菱形EFGH．
    综上所述：
    当O＜b＜2a时，S菱形EFGH＜S菱形ABGH＜S菱形AECF．
    当b=2a时，S菱形EFGH=S菱形ABGH＜S菱形AECF． 
    当b＞2a时  S菱形ABGH＜S菱形EFGH＜S菱形AECF．
    点评：本题主要考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等知识点．注意第（3）题需要分类讨论，以防错解．
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    20°
    20°
    ．

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    x+y=70
    x=5y-8
    x+y=70
    x=5y-8
    ．

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    OA
    OD
    =
    OB
    OC
    ，又因为
    ∠AOB=∠DOC
    ∠AOB=∠DOC
    ，可证明△AOB∽△DOC．

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