试题分析:(1)将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值;
(2)由于菱形的对角线互相垂直平分,若四边形POP′C为菱形,那么P点必在OC的垂直平分线上,据此可求出P点的纵坐标,代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标;
(3) 由于△ABC的面积为定值,当四边形ABPC的面积最大时,△BPC的面积最大;过P作y轴的平行线,交直线BC于Q,交x轴于F,易求得直线BC的解析 式,可设出P点的横坐标,然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标,即可得到PQ的长,以PQ为底,B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC 的面积,由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标.
试题解析:(1)将B、C两点的坐标代入得
解得:
;
所以二次函数的表达式为:y=x
2﹣2x﹣3.
(2)存在点P,使四边形POPC为菱形;
设P点坐标为(x,x
2﹣2x﹣3),PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形,则有PC=PO;
连接PP′,则PE⊥CO于E,
∴OE=EC=
∴y=
;
∴x
2﹣2x﹣3=
解得:
,
(不合题意,舍去)
∴P点的坐标为(
,
)
(3)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P(x,x
2﹣2x﹣3),
易得,直线BC的解析式为y=x﹣3则Q点的坐标为(x,x﹣3);
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=
AB•OC+
QP•OF+
QP•BF
当
时,四边形ABPC的面积最大
此时P点坐标为(
,-
)四边形ABPC的面积的最大值为
.
考点: 二次函数综合题.