Question

如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，
（1）请判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）若⊙O半径为7，AP=6，求圆心O到AP的距离．

Answer 1

分析：（1）由∠BAC=∠APC=60°，根据圆周角定理，可求得△ABC的各内角的度数，继而证得△ABC是等边三角形；
（2）首先过O作OD⊥AP，垂足为D，连接OA，易求得AP与AD的长，又由勾股定理，求得答案．

解答：解：（1）△ABC是等边三角形，
理由如下：在△ABC中，
∵∠B=∠APC，且∠APC=60°，
∴∠B=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°，
∴△ABC是等边三角形；

（2）过O作OD⊥AP，垂足为D，连接OA，
∴AD=

1

2

AP，∠ADO=90°，
∵AP=6，
∴AD=3，
∴在R t△ADO中OD=

AO2-AD2

=

72-32

=2

10

，
∴圆心O到AP距离为2

10

．

点评：此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．