Question

如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ．设AP=x．
（1）当PQ∥AD时，求x的值；
（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；
（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP=CQ求x即可；
（2）连接EP、EQ，则EP=EQ，设BE=y，列出等式（8-x）²+y²=（6-y）²+x²然后根据函数的性质来求x的取值范围；
（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．

解答：解：（1）当PQ∥AD时，则
∠A=∠APQ=90°，∠D=∠DQP=90°，
又∵AB∥CD，
∴四边形APQD是矩形，
∴AP=QD，
∵AP=CQ，
AP=

1

2

CD=

1

2

×8=4，
∴x=4．

（2）如图，连接EP、EQ，则EP=EQ，设BE=y．
∴（8-x）²+y²=（6-y）²+x²，
∴y=

4x-7

3

．
∵0≤y≤6，
∴0≤

4x-7

3

≤6，
∴

7

4

≤x≤

25

4

．

（3）S_△BPE=

1

2

•BE•BP=

1

2

•

4x-7

3

•（8-x）=

-4x2+39x-56

6

，
S_△ECQ=

1

2

•CE•CQ=

1

2

•（6-

4x-7

3

）•x=

-4x2+25x

6

，
∵AP=CQ，
∴S_BPQC=

1

2

S矩形ABCD=24，
∴S=S_BPQC-S_△BPE-S_△ECQ=24-

-4x2+39x-56

6

-

-4x2+25x

6

，
整理得：S=

4x2-32x+100

3

=

4

3

（x-4）²+12（

7

4

≤x≤

25

4

），
∴当x=4时，S有最小值12，
当x=

7

4

或x=

25

4

时，S有最大值

75

4

．
∴12≤S≤

75

4

．

点评：解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．