Question

【题目】如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为AB上一动点，连接DB、DP，AE⊥DP于E．

（1）如图①，若P为AB的中点，则=　 　； =　 　；

（2）如图②，若时，证明：AC=4BF；

（3）如图③，若P在BA的延长线上，当=　 　时，．

Answer 1

【答案】（1），；（2）详见解析；（3）.

【解析】

（1）延长AF交BC于M，证△ABM≌△DAP，得BM=AP，再根据△MBF∽△ADF对应边成比例列出比例式=，然后再根据正方形的边长相等，对角线相等进行转化即可求解；

（2）先根据已知条件求出=，然后同（1）的方法作出辅助线即可进行证明；

（3）同前两小题的思路，延长CB交AF于点M，然后同（1）的求解思路进行求解计算．

（1）延长AF交BC于M，∴∠BAM+∠AMB=90°．

∵AE⊥DP，∴∠BAM+∠DPA=90°，∴∠AMB=∠DPA．

在△ABM和△DAP中，∵，∴△ABM≌△DAP（AAS），∴AP=BM（全等三角形对应边相等）．

∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴△MBF∽△ADF，∴=．

∵点P是AB的中点，∴AP=BM=AB=AD，∴==，∴==，即=．

又∵AC=BD，∴=．

故答案为：；

（2）∵=，∴==，即=，方法同（1），延长AF交BC于M，则===，∴==，即=．

∵正方形的对角线AC=BD，∴=，∴AC=4BF；

（3）延长CB交AF于点M，方法同（1）可得：==，∴=，∴=，即=．

∵正方形的对角线AC=BD，∴=．

故答案为：．