Question

3．如图，抛物线y=ax²+bx-$\frac{5}{3}$经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；
（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点分别代入抛物线解析可求得a和b，可求得抛物线解析式；
（2）过A作AD⊥BC于点D，则AD为⊙A的半径，由条件可证明△ABD∽△CBO，利用相似三角形的性质可求得AD的长，可求得半径，进而得出答案；
（3）由待定系数法可求得直线BC解析式，过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，可设出P、Q的坐标，可表示出△PQC和△PQB的面积，可表示出△PBC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，容易求得P点坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-$\frac{5}{3}$经过点A（1，0）和点B（5，0），
∴把A、B两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b-\frac{5}{3}=0}\\{25a+5b-\frac{5}{3}=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+2x-$\frac{5}{3}$；

（2）相交，
理由：过A作AD⊥BC于点D，如图1，
∵⊙A与BC相切，
∴AD为⊙A的半径，
由（1）可知C（0，-$\frac{5}{3}$），且A（1，0），B（5，0），
∴OB=5，AB=OB-OA=4，OC=$\frac{5}{3}$，
在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{3}）^{2}+{5}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{10}}{3}$，
∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO，
∴△ABD∽△CBO，
∴$\frac{AD}{OC}$=$\frac{AB}{BC}$，即$\frac{AD}{\frac{5}{3}}$=$\frac{4}{\frac{5\sqrt{10}}{3}}$，
解得AD=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
即⊙A的半径为$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
∵$\frac{2\sqrt{10}}{5}$＞1，
∴⊙A与y轴相交；


（3）∵C（0，-$\frac{5}{3}$），
∴可设直线BC解析式为y=kx-$\frac{5}{3}$，
把B点坐标代入可求得k=$\frac{1}{3}$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{5}{3}$，
过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，如图2，

设P（x，-$\frac{1}{3}$x²+2x-$\frac{5}{3}$），则Q（x，$\frac{1}{3}$x-$\frac{5}{3}$），
∴PQ=（-$\frac{1}{3}$x²+2x-$\frac{5}{3}$）-（$\frac{1}{3}$x-$\frac{5}{3}$）=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x=-$\frac{1}{3}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{12}$，
∴S_△PBC=S_△PCQ+S_△PBQ=$\frac{1}{2}$PQ•OE+$\frac{1}{2}$PQ•BE=$\frac{1}{2}$PQ（OE+BE）=$\frac{1}{2}$PQ•OB=$\frac{5}{2}$PQ=-$\frac{5}{6}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{125}{24}$，
∴当x=$\frac{5}{2}$时，S_△PBC有最大值$\frac{125}{24}$，此时P点坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$），
∴当P点坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）时，△PBC的面积有最大值．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、切线的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出⊙A的半径是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，计算量大，综合性较强．