Question

在正方形ABCD中：
（1）已知：如图①，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M，求证：AE=BF．
（2）如图②，如果点E、F、G分别在BC、CD、DA上，且GE⊥BF，垂足M，那么GE、BF相等吗？证明你的结论．
（3）如图③，如果点E、F、G、H分别在BC、CD、DA、AB上，且GE⊥HF，垂足M，那么GE、HF相等吗？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质，得到∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，进而得到∠BAE=∠CBF，则△ABE≌△BCF，进一步根据全等三角形的性质进行证明；
（2）过点A作AN∥GE，可证四边形ANEG是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AN=GE，由（1）的结论可知AN=BF，所以GE=BF；
（3）分别过点A、B作AP∥GE，BQ∥HF，可证四边形APEG、四边形BQFH为平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AP=GE，BQ=HF，由（1）的结论可知AP=BQ，所以GE=HF．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∵在△ABE和△BCF中，

∠ABC=∠C=90° ∠BAE=∠CBF AB=BC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF；

（2）GE=BF．
证明：如图②，过点A作AN∥GE，
∵AD∥BC，
∴四边形ANEG是平行四边形，
∴AN=GE，
∵GE⊥BF，
∴AN⊥BF，
由（1）可得△ABN≌△BCF，
∴AN=BF，
∴GE=BF；

（3）GE=HF．
证明：如图③，分别过点A、B作AP∥GE，BQ∥HF，
∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形APEG、四边形BQFH为平行四边形，
∴AP=GE，BQ=HF，
∵GE⊥HF，
∴AP⊥BQ，
由（1）可得△ABP≌△BCQ，
∴AP=BQ，
∴GE=HF．

点评：本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定，熟练掌握正方形性质确定三角形全等的条件是解题的关键，（2）（3）两题通过作辅助线构造成（1）的形式是得解的关键．