Question

如图，PA、PB是⊙O的两条切线，其切点分别为A、B，PO交AB于点D，PO的延长线交⊙O于点C，根据图形给出下面四个结论：①∠PAB=∠PCA；②PA²=PD•PC；③∠PAB=∠PBA；④∠AOD=2∠ACO．
其中错误的结论的个数为（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：由PA与PB为圆O的两条切线，根据切线长定理得到PA=PB，利用等边对等角得到∠PAB=∠PBA，选项③正确；连接BC，利用弦切角等于夹弧所对的圆周角得到得到∠PAB=∠ACB，故∠PAB不等于∠PCA，选项①错误；由PA为圆O的切线，PC为圆O的割线，利用切割线定理得到关系式，即可对②作出判断；由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，得到∠AOD=2∠ACO，选项④正确，即可得出错误选项的个数．
解答：解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，故选项③正确；
连接BC，AE，可得出∠PAB=∠ACB，
∴∠PAB≠∠PCA，故选项①错误；
∵PA为⊙O的切线，PC为⊙O的割线，
∴∠PAE=∠PCA，
又∵∠APE=∠CPA，
∴△APE∽△CPA，
∴=，即PA²=PE•PC，故选项②错误；
∵∠AOD与∠ACO都对，
∴∠AOD=2∠ACO，故选项④正确．
则错误的个数有2个．
故选B．
点评：此题考查了切线的性质，切割线定理，等边对等角，圆周角定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．