Question

15．如图，CD为⊙O的直径，弦AB垂直于CD，垂足为H，∠EAD=∠HAD．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）延长AE与CD的延长线交于点P，过D 作DE⊥AP，垂足为E，已知PA=2，PD=1，求⊙O的半径和DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OA，根据垂线的定义结合角的计算，即可得出∠EAD+∠OAD=90°，从而得出OA⊥AE，再由点A在圆上，即可证出AE为⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为x，在Rt△AOP中，利用勾股定理可求出x的值，再由DE⊥AP，得出OA∥DE，进而可得出△PED∽△PAO，根据相似三角形的性质即可求出DE的长度．

解答 （1）证明：连结OA，如图所示．
∵AB⊥CD，
∴∠AHD=90°，
∴∠HAD+∠ODA=90°．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
又∵∠EAD=∠HAD，
∴∠EAD+∠OAD=90°，
∴OA⊥AE．
又∵点A在圆上，
∵AE为⊙O的切线．

（2）解：设⊙O的半径为x，在Rt△AOP中，
OA²+AP²=OP²，即x²+2²=（x+1）²，
解得：x=1.5，
∴⊙O的半径为1.5．
∵DE⊥AP，OA⊥AP，
∴OA∥DE，
∴△PED∽△PAO，
∴$\frac{DP}{PO}$=$\frac{DE}{AO}$，即$\frac{1}{2.5}$=$\frac{DE}{1.5}$，
解得：DE=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）通过角的计算找出∠EAD+∠OAD=90°；（2）利用勾股定理求出圆的半径，并利用相似三角形的性质求出DE的长度．