Question

11．如图，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则△DCE的外接圆的半径是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设∠DCE=x，∠ACD=y，根据等腰三角形的性质求出∠ACE、∠BDC，根据三角形内角和定理求出∠DCE=45°，根据三角形的外接圆和外心的概念求出答案．

解答 解：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°-∠ACE=90°-x-y，
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=x+y，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°-x-y+x=90°-y，
在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，
∴x+（90°-y）+（x+y）=180°，
解得x=45°，
∴∠DCE=45°，
∵AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵AE=AC=6，BD=BC=8，
∴DE=4，又∠DCE=45°，
如图，作直径CH，连接HE，
∴∠CEH=90°，又∠CHE=∠DCE=45°，CE=4，
∴CH=4$\sqrt{2}$，
即△DCE的外接圆的直径4$\sqrt{2}$，
∴△DCE的外接圆的半径为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念以及等腰三角形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角、勾股定理的应用是解题的关键．