Question

17．已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB的中点，若E是射线CA上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点，G为EF的中点，连接CG并延长线交直线AB于点H．
（1）若E在边AC上，则CG与GH的数量关系为相等；
（2）若E在边CA的延长线上时，请画出图形，并判断（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若AE=6，CH=13，则边BC=6$+\sqrt{133}$或$\sqrt{133}$-6（直接写出结果，不要说明理由）．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边上中线求出CG=EG=GF=DG，推出∠GCD=∠GDC，推出∠GDH=∠GHD，推出DG=GH即可；
（2）根据直角三角形的特点和中线的特点可得出CG=$\frac{1}{2}$EF，GD=$\frac{1}{2}$EF，从而得出答案；
（3）求出EF的长是13，在Rt△ECF中，CF=6，根据勾股定理求出EC，从而求出AC，再根据AC=BC，即可得出答案．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，G为EF的中点，
∴CG=EG=FG，
∵∠EDF=90°，G为EF的中点，
∴DG=EG=FG，
∴CG=DG，
∴∠GCD=∠CDG
又∵CD⊥AB，
∴∠CDH=90°，
∴∠GHD+∠GCD=90°，∠HDG+∠GDC=90°，
∴∠GHD=∠HDG，
∴GH=GD，
∴CG=GH；
故答案为：相等；

（2）根据题意画图如下：

E在边CA的延长线上时（1）成立，证明如下：
Rt△EFC中，点G是EF边的中点，则CG=$\frac{1}{2}$EF．
在Rt△EFD中，点G是EF边的中点，则GD=$\frac{1}{2}$EF．
则CG=GD；

（3）∵AC=BC，CD是AB边上的中线，
∴CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CHD+∠DCH=90°，∠CDG+∠HDG=90°，
∵由（1）知DG=CG，
∴∠CDG=∠GCD，
∴∠GDH=∠GHD，
∴DG=GH，
∴CG=GH=$\frac{1}{2}$CH=$\frac{1}{2}$×13=6.5，
∵∠EDF=90°，G为EF中点，
∴DG=$\frac{1}{2}$EF，
∴EF=13，
∵AE=6，
∴由（1）知AE=CF，
∴CF=6，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：EC=$\sqrt{1{3}^{2}-{6}^{2}}$=$\sqrt{133}$，
∴BC=AC=AE+CE=6+$\sqrt{133}$；
如图②，同理求出EF=13，CF=6，
在Rt△ECF中，根据勾股定理求出CE=4，
则BC=AC=CE-AE=$\sqrt{133}$-6，
综合上述：BC=6+$\sqrt{133}$或$\sqrt{133}$-6．
故答案为：6$+\sqrt{133}$或$\sqrt{133}$-6．

点评 本题考查了等腰三角形性质和判定，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度．