Question

【题目】矩形OABC的边OC、OA分别位于x、y轴上，点A（0，﹣4）、B（6，﹣4）、C（6，0），抛物线y＝ax2+bx经过点O和点C，顶点M（3，﹣），点N是抛物线上一动点，直线MN交直线AB于点E，交y轴于F，△A′EF是将△AEF沿直线MN翻折后的图形．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当四边AEA′F是正方形时，求点N的坐标．

（3）连接CA′，求CA′的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣3x；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据待定系数法进行求解即可得到答案；

（2）根据正方形的性质，联立y＝﹣x﹣与y＝x2﹣3x，即可得到答案；

（3）根据圆的性质即可得到答案.

解：（1）由已知可知C（6，0），M（3，﹣），代入y＝ax2+bx，得

，

∴

∴y＝x2﹣3x；

（2）当四边AEA′F是正方形时，

直线MF与x轴成角45°，

∴MF直线解析式为y＝﹣x﹣，

联立y＝﹣x﹣与y＝x2﹣3x，可得

x＝1或x＝3（舍）

∴N（1，﹣）；

（3）A'的运动轨迹是以M为圆心MA为半径的圆，

∵MA＝3，MC＝，

∴CA'最小值为；