Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+m﹣4（m为常数）与y轴的交点为C，M（3，0）与N（0，﹣2）分别是x轴、y轴上的点

（1）当m＝1时，求抛物线顶点坐标．

（2）若3≤x≤3+m时，函数y＝﹣x2+4x+m﹣4有最小值﹣7，求m的值．

（3）若抛物线与线段MN有公共点，直接写出m的取值范围是　 　．

Answer 1

【答案】（1）顶点坐标为（2，1）；（2）m＝2；（3）﹣≤m≤2．

【解析】

（1）利用配方法求顶点的坐标；

（2）根据二次函数的性质得到当x＝m+3时，y有最小值﹣7，即可得到﹣（m+3）2+4（m+3）+m﹣4＝﹣7，求解即可；

（3）求得直线MN的解析式，然后根据题意得到（﹣）2﹣4（﹣m+2）≥0且m﹣4≤﹣2，求解即可．

解：（1）当m＝1时，y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，

∴顶点坐标为（2，1）；

（2）由题意可知，该抛物线开口向下，对称轴为直线x＝＝2，

∴当3≤x≤3+m时，y随x的增大而减小，

∴当x＝m+3时，y取最小值﹣7，

∴﹣（m+3）2+4（m+3）+m﹣4＝﹣7，

解得：m1＝2，m2＝﹣3（舍去），

∴m＝2；

（3）∵M（3，0），N（0，﹣2），

设直线MN解析式为：y=kx+b(k≠0)，

则，解得：，

∴直线MN的解析式为y＝x﹣2，

∵抛物线与线段MN有公共点，则方程﹣x2+4x+m﹣4＝x﹣2，即x2﹣x﹣m+2＝0中△≥0，且m﹣4≤﹣2，

∴（﹣）2﹣4（﹣m+2）≥0，

解得：﹣≤m≤2，

故答案为：﹣≤m≤2．