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7.如图,已知菱形ABCD,AB=AC,E、F分别是BC、AD的中点,连接AE、CF.
求证:四边形AECF是矩形.

分析 根据菱形的四条边都相等可得AB=BC,然后判断出△ABC是等边三角形,然后根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC,∠AEC=90°,再根据菱形的对边平行且相等以及中点的定义求出AF与EC平行且相等,从而判定出四边形AECF是平行四边形,再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证.

解答 证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,
又∵AB=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∵E是BC的中点,
∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一),
∴∠AEC=90°,
∵E、F分别是BC、AD的中点,
∴AF=$\frac{1}{2}$AD,EC=$\frac{1}{2}$BC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC且AD=BC,
∴AF∥EC且AF=EC,
∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形),
又∵∠AEC=90°,
∴四边形AECF是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).

点评 本题考查了矩形的判定,菱形的性质,平行四边形的判定的应用,等边三角形的判定与性质,证明得到四边形AECF是平行四边形是解题的关键,也是突破口.

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