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2.如图,矩形ABCD中,BC=2,将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°,点A,C分别落在点A′、C′处,并且点A′,C′,B在同一条直线上,则tan∠ABA′的值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

分析 设AB=x,由矩形的性质和旋转的性质可知AB=C'D=x,A'C=A'D+CD=x+2,由已知条件易证△AC'D∽△ABC,由相似三角形的性质可求出x的值,在直角三角形ABC'中即可求出tan∠ABA′的值.

解答 解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=2,∠A=90°,C'D∥BC,
∵将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°,
∴AB=C'D,BC=B'C'=AD=2,
设AB=x,则AB=C'D=x,A'C=A'D+CD=x+2,
∵C'D∥BC,
∴△AC'D∽△ABC,
∴C'D:BC=AD:DC,
即x:2=2:x+2,
解得:x=-1+$\sqrt{5}$或x=-1-$\sqrt{5}$(小于0,不合题意,舍去),
∴AC'=2-C'D=2-(-1+$\sqrt{5}$)=3-$\sqrt{5}$
∴tan∠ABA′=$\frac{AC′}{AB}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{-1+\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
故答案为:$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

点评 本题主要考查矩形的性质、旋转的性质及三角函数的定义,利用旋转的性质和相似三角形的性质求得矩形的宽是解题的关键.

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