Question

观察：1•2•3•4+1=5²，
2•3•4•5+1=11²，
3•4•5•6+1=19²，
…
（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
（2）根据（1），计算2000•2001•2002•2003+1的结果（用一个最简式子表示）．

Answer 1

分析：（1）等式左边是4个连续正整数的积与1的和，右边是这4个正整数中最大数与最小数的积与1的和的平方；
（2）由（1）知（2000×2003+1）²，计算即可．

解答：解：（1）对于自然数n，有n（n+1）（n+2）（n+3）+1
=（n²+3n）（n²+3n+2）+1
=（n²+3n）2+2（n²+3n）+1
=（n²+3n+1）²．
即n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3n+1）²；
（2）由（1）得，2000×2001×2002×2003+1=（2000×2003+1）²=4006001²．

点评：通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键规律为等号右面的数与左边的数的关系，等号右边的数是左边最大数与最小数的积与1的和的平方．