Question

14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x-6与x轴交于A．B两点（点A在点B左侧）．与y轴交于点T，抛物线顶点为C．
（1）求四边形OTCB的面积；
（2）如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点D．线段EF与PQ长度均为2，线段EF在线段DB上运动．线段PQ在y轴上运动，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线于点E′，F′，交BC于点M，N．请求出ME′+NF′的最大值，并求当ME′+NF′值最大时，四边形PNMQ周长的最小值；
（3）如图3，连接AT，将△AOT沿x轴向右平移得到△A′O′T′，当T′与直线BC的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$时，求△A′O′T′与△BCD的重叠部分面积．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线解析式确定出顶点坐标，对称轴，求出OT，OB即可求出面积；
（2）先求出直线BC解析式为y=2x-12，再求出ME′+NF′=-（m-3）²+3，确定出C_{四边形PNMQ}=PN+MN+PQ+MQ最小时的位置，从而计算即可；
（3）先判断出△T′RS∽△CBD，从而计算出T′R=$\frac{T′S×CB}{CD}$=$\frac{1}{2}$，再分两种情况计算即可．

解答 解：（1）如图1，

连接OC，
∵y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-2x-6，
∴抛物线的顶点坐标为C（2，-8），对称轴：x=2，T（0，-6），
令y=0，A（-2，0），B（6，0），
∴OT=6，OB=6，
∴S_{四边形OTCB}=S_△OTC+S_△OBC=$\frac{1}{2}$OT|x_c|+$\frac{1}{2}$OB|y_c|=30，
（2）设E（m，0），
∴F（m+2，0），
∵B（6，0），C（2，-8）
∴直线BC解析式为y=2x-12，
∵EE′⊥x轴，FF′⊥x轴，
∴M（m，2m-12），E′（m，$\frac{1}{2}$m²-2m-6），
N（m+2，2m-8），F′（m+2，$\frac{1}{2}$m²-8），
∴ME′=-$\frac{1}{2}$m²+4m-6，NF′=-$\frac{1}{2}$m²+2m，
∴ME′+NF′=-$\frac{1}{2}$m²+4m-6-$\frac{1}{2}$m²+2m=-（m-3）²+3，
∴当m=3时，ME′+NF′有最大值，最大值为3，
∴E（3，0），F（5，0），
∴M（3，-6），N（5，-2），
∴MN=2$\sqrt{5}$，
∵EF=PQ=2，
C_{四边形PNMQ}=PN+MN+PQ+MQ，
将N向下平移2个单位，对应点N₁，
∴N₁（5，-4），
又作N₁关于y轴的对称点N₂，连接N₁N₂，MN₂与y轴的交点为P，Q，此时MN₂最小，
∴MN₂=PN+MQ，
∴N₂（-5，-4），
∴MN₂=2$\sqrt{17}$，
∴C_{四边形PNMQ最小值}=MN2+MN+PQ2$\sqrt{17}$+2$\sqrt{5}$+2，
（3）如图3，

∵C（2，-8），B（6，0），
∴BC=4$\sqrt{5}$，BD=4，CD=8
过T作TT′∥x轴，
∴T′到BC的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
过T′作T′S⊥BC，
∴T′S=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵△T′RS∽△CBD，
∴$\frac{T′R}{CB}=\frac{T′S}{CD}$，
∵T
∴T′R=$\frac{T′S×CB}{CD}$=$\frac{1}{2}$
∵TT′∥x轴，
∴R（3，-6），
∴T′₁（$\frac{5}{2}$，-6），T′₂（$\frac{7}{2}$，-6），
①当T′为T′₁（$\frac{5}{2}$，-6），
T′在△BCD内部，
∴△A′OT′与△BCD重叠部分为梯形，
设AT′与CD的交点为G，则△A′GD∽△A′T′O′，
∴O′（$\frac{5}{2}$，0），
∴A′D=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{GD}{T′O′}=\frac{A′D}{A′O′}$，
∴GD=$\frac{9}{2}$，
∴DO′=$\frac{1}{2}$，
∴S重叠=（GD+T′O′）×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{21}{8}$；
②当′为T′₂（$\frac{7}{2}$，-6），T′在△BCD内部，设A′T′与CD，BC交于J，K，
T′O′与直线BC交于点H，
∴O′（$\frac{7}{2}$，0），A′（$\frac{3}{2}$，0），H（$\frac{7}{2}$，-5），
∴直线AT′₂为y=-3x+$\frac{9}{2}$，
∴J（2，-$\frac{3}{2}$）M
∴K（$\frac{33}{10}$，-$\frac{27}{5}$），
S重叠=S_△BCD-S_△CJK-S_△BHO′=$\frac{221}{40}$，
∴重叠面积为$\frac{21}{8}$或$\frac{221}{40}$，

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的顶点坐标，对称轴的确定方法，面积公式，平移，相似三角形的判定和性质，图象的交点坐标，确定点的坐标是解本题的关键．