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    如图，四边形ABCD是正方形，CE是∠BCD的外角∠DCF的平分线．

    （如果需要，还可以继续操作、实验与测量）

    1.操作实验：将直角尺的直角顶点P在边BC上移动（与点B、C不重合），且一直角边经过点A，另一直角边与射线CE交于点Q，不断移动P点，同时测量线段PQ与线段PA的长度，完成下列表格（精确到0.1cm）．

     

    PA

    PQ

    第一次

     

     

    第二次

     

     

     

    2.观测测量结果，猜测它们之间的关系：____________

    3.请证明你猜测的结论；

    4.当点P在BC的延长线上移动时，继续⑴的操作实验，试问：⑴中的猜测结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

    （考查猜想、证明等综合能力）

     

    【答案】

     

    1.PA=PQ

    2.（略证）过Q点作QG⊥BF于G点

    由同角的余角相等，可得∠BAP=∠QPG…………………4分

    从而易得△ABP∽△PGQ有∵AB=BC，CG=QG

    ∴∴

    即（AB－BP）（BP－CG）=0由P点能和C重合，所以AB≠BP

    ∴BP=CG=QG…………………6分

    由此易得△ABP≌△PGQ∴AP=PQ………………………7分

    3.仍然成立…

    4.证明过程和（3）基本一致…

    【解析】略

     

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    （提示：平面图形的性质通常从它的边、内角、对角线、周长、面积等入手．）

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    如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．
    （1）求证：PA=PC．
    （2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四边形ABCD的面积．

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    如图，四边形ABCD为正方形，E是BC的延长线上的一点，且AC=CE，求∠DAE的度数．

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    如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．

    （I）求证：AE=EF；
    （Ⅱ）若将条件中的“点E是BC的中点”改为“E是BC上任意一点”，其余条件不变，则结论AE=EF还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

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