Question

10．如图，已知抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）证明：四边形AOBC的两条对角线互相垂直；
（3）在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的?DEFG？（顶点D，E，F，G分别在线段AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合）若能，求出?DEFG的最大面积，并求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6），利用待定系数法，求出抛物线的表达式即可；
（2）利用两点间的距离公式分别计算出OA=4，OB=4，CB=2$\sqrt{10}$，CA=2$\sqrt{10}$，则OA=OB，CA=CB，根据线段垂直平分线定理的逆定理得到OC垂直平分AB，所以四边形AOBC的两条对角线互相垂直；
（3）如图2，利用两点间的距离公式分别计算出AB=4$\sqrt{2}$，OC=6$\sqrt{2}$，设D（t，0），根据平行四边形的性质四边形DEFG为平行四边形得到EF∥DG，EF=DG，再由OC垂直平分AB得到△OBC与△OAC关于OC对称，则可判断EF和DG为对应线段，所以四边形DEFG为矩形，DG∥OC，则DE∥AB，于是可判断△ODE∽△OAB，利用相似比得DE=$\sqrt{2}$t，接着证明△ADG∽△AOC，利用相似比得DG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（4-t），所以矩形DEFG的面积=DE•DG=$\sqrt{2}$t•$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（4-t）=-3t²+12t，然后根据二次函数的性质求平行四边形DEFG的面积的最大值，从而得到此时D点坐标．

解答 解：（1）设该抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+c=0}\\{c=4}\\{36a+6b+c=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{11}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式为y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{11}{3}$x+4；

（2）如图1，连结AB、OC，
∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），
∴OA=4，OB=4，CB=$\sqrt{{6}^{2}+（6-4）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，CA=$\sqrt{（6-4）^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴OA=OB，CA=CB，
∴OC垂直平分AB，
即四边形AOBC的两条对角线互相垂直；

（3）能．
如图2，AB=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，OC=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，设D（t，0），
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴EF∥DG，EF=DG，
∵OC垂直平分AB，
∴△OBC与△OAC关于OC对称，
∴EF和DG为对应线段，
∴四边形DEFG为矩形，DG∥OC，
∴DE∥AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{OD}{OA}$，即$\frac{DE}{4\sqrt{2}}$=$\frac{t}{4}$，解得DE=$\sqrt{2}$t，
∵DG∥OC，
∴△ADG∽△AOC，
∴$\frac{DG}{OC}$=$\frac{AD}{AO}$，即$\frac{DG}{6\sqrt{2}}$=$\frac{4-t}{4}$，解得DG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（4-t），
∴矩形DEFG的面积=DE•DG=$\sqrt{2}$t•$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（4-t）=-3t²+12t=-3（t-2）²+12，
当t=2时，平行四边形DEFG的面积最大，最大值为12，此时D点坐标为（2，0）．

点评 考查了二次函数综合题：熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和对称的判定与性质；理解坐标与图形性质，会利用两点间的距离公式计算线段的长；掌握线段垂直平分线的判定方法和平行四边形的性质；会利用相似比计算线段的长．