Question

【题目】如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD＝AB，AD，BC的延长线相交于点E.

(1)求证：AD是半圆O的切线；

(2)连结CD，求证：∠A＝2∠CDE；

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

（1）如图，连接OD，BD，

∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，

∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，

∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，

∴∠ADO=∠ABO=90°，∴AD是半圆O的切线．

（2）由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，

∴∠A=360°–∠ADO–∠ABO–∠BOD=180°–∠BOD=∠DOC，

∵AD是半圆O的切线，∴∠ODE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，

∵BC是⊙O的直径，∴∠ODC+∠BDO=90°，∴∠BDO=∠CDE，

∵∠BDO=∠OBD，∴∠DOC=2∠BDO，∴∠DOC=2∠CDE，

∴∠A=2∠CDE．