Question

11．已知双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过点（2，3$\sqrt{3}$）．
（1）填空：k=6$\sqrt{3}$；
（2）如图，已知y轴上一点A（0，$\sqrt{3}$）．若点P在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB恰为等边三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，已知点M是双曲线上的另一点，当△PAB面积与△PAM面积相等时，求点M坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可求得；
（2）解直角三角形求得AB=2$\sqrt{3}$，根据等边三角形的性质求得PB=2$\sqrt{3}$，将PB=2$\sqrt{3}$代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点的横坐标，从而求得P点的纵坐标；
（3）分两种情况分别讨论即可求得．

解答 解：（1）∵双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过点（2，3$\sqrt{3}$），
∴3$\sqrt{3}$=$\frac{k}{2}$，
解得：k=6$\sqrt{3}$；
故答案为：6$\sqrt{3}$；

（2）如图1，∵△PAB等边三角形，
∴∠PBA=60°，PB=AB，
∵PB⊥x轴，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA=2$\sqrt{3}$，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=3，
∴PB=AB=2$\sqrt{3}$，
∴点P的坐标为：（3，2$\sqrt{3}$）；

（3）设M的坐标为（m，$\frac{6\sqrt{3}}{m}$），
作MN⊥x轴于N，
当0＜m＜3时，如图2①，
∵S_梯形AMNO+S_梯形PMNB-S_△AOB=2S_△PAB，
∴m（$\sqrt{3}$+$\frac{6\sqrt{3}}{m}$）+（3-m）（2$\sqrt{3}$+$\frac{6\sqrt{3}}{m}$）-3×$\sqrt{3}$=2×3×$2\sqrt{3}$，
整理得，m²+9m-18=0，
解得m₁=$\frac{-9+3\sqrt{17}}{2}$，m₂=$\frac{-9-3\sqrt{17}}{2}$（舍去），
∴M（$\frac{-9+3\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{51}}{2}$）；
当m＞3时，如图2②，
∵S_梯形AOBP+S_梯形PMNB-S_△AOB=2S_△PAB，
则3（$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$）+（m-3）（2$\sqrt{3}$+$\frac{6\sqrt{3}}{m}$）-3×$\sqrt{3}$=2×3×$2\sqrt{3}$，
整理得，m²-3m-9=0，
解得，m₃=$\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$，m₄=$\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$（舍去），
∴M（$\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$，$\sqrt{15}$-$\sqrt{3}$）．

点评 本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法，等边三角形的性质，解直角三角形，梯形的面积等，（3）根据S_梯形AMNO+S_梯形PMNB-S_△AOB=2S_△PAB和S_梯形AOBP+S_梯形PMNB-S_△AOB=2S_△PAB，列出等式是解题的关键．