Question

如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB．CD相交于点O，B．D两点立于地面，经测量：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32cm．
（1）求证：AC∥BD；
（2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°）；
（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；可使用科学记算器）

Answer 1

（1）证明：证法一：
∵AB．CD相交于点O，
∴∠AOC=∠BOD
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=（180°﹣∠BOD），
同理可证：∠OBD=∠ODB=（180°﹣∠BOD），
∴∠OAC=∠OBD
∴AC∥BD，
证法二：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，
∴OB=OD=85cm，又∵
∴∠AOC=∠BOD∴△AOC∽△BOD，
∴∠OAC=∠OBD∴AC∥BD；
（2）解：在△OEF中，OE=OF=34cm，EF=32cm；
作OM⊥EF于点M，则EM=16cm；
∴cos∠OEF=0.471，用科学记算器求得∠OEF=61.9°；
（3）解法一：小红的连衣裙会拖落到地面；
在Rt△OEM中，=30cm，
过点A作AH⊥BD于点H，同（1）可证：EF∥BD，
∴∠ABH=∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH，
∴
所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm＞晒衣架的高度AH=120cm．
解法二：小红的连衣裙会拖落到地面；
同（1）可证：EF∥BD，∴∠ABD=∠OEF=61.9°；
过点A作AH⊥BD于点H，在Rt△ABH中，
AH=AB×sin∠ABD=136×sin61.9°=136×0.882≈120.0cm
分所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm＞晒衣架的高度AH=120cm．