Question

【题目】如图线段OA＝12，线段OA绕点O旋转90°，形成扇形OAB，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，连接OE，与CD的交点为F，点C在OA上，AC＝4．

（1）①CD＝　 　；②当BE弧长为4π时，∠BOE＝　 　．

（2）当四边形ODEC面积最大时，求EF．

（3）在点E的运动过程中，是否存在一个时刻使CE+2DE有最小值？若存在请直接写出答案；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①10；②60°；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）运用勾股定理计算CD，由弧长公式可求出∠BOE；
（2）四边形面积最大时，两三角形的高的和等于半径，即可求得EF；
（3）延长OB至点G，使BG=OB，连接GE、GC、DE．证明△DOE～△EOG，得到EG=2DE，所以CE+2DE=CE+EG，当C、E、G三点在同一直线上上时，CE+EG最小，此时CE+EG＝CG＝＝＝8，即CE+2DE有最小值为8.

解：（1）①在Rt△OCD中，∠COD＝90°，OC＝OA﹣AC＝12﹣4＝8，OD＝OB＝＝6，

∴＝＝10，

故答案为：10；

②设∠BOE＝n°，由弧长公式得：，解得：n＝6

∴∠BOE＝60°；

故答案为：60°；

（2）分别过O、E作OM⊥CD于M，EN⊥CD于N，

∵CD＝10，

∴S四边形ODEC＝S△OCD+S△CDE＝CD（OM+EN）≤CDOE＝×10×12＝60；

此时，OM、EN、OE重合，

∵OMCD＝OCOD

∴10×OM＝6×8，OM＝，

∴＝；

（3）延长OB至点G，使BG＝OB，连接GE、GC、DE．

∴

∵点D为OB的中点，OB＝OE，

∴，

∴，

又∠DOE＝∠EOG，

∴△DOE～△EOG，

，

即EG＝2DE，

∴CE+2DE＝CE+EG，

当C、E、G三点在同一直线上上时，CE+EG最小，

CO＝OA﹣AC＝12﹣4＝8，OG＝OB+BG＝12+12＝24，

此时CE+EG＝CG＝＝＝8，

故CE+2DE有最小值为8．