Question

【题目】探究：如图①，在矩形ABCD中，以点A为直角顶点作Rt△AEF，连结BE、DF，直线DF交直线BE于点G，DG与AB交于点H，且．

（1）求证：△ABE∽△ADF．

（2）求证：DG⊥BE；

拓展：如图②，在ABCD中，以点A为顶点作∠EAF＝∠BAD，连结BE、DF，直线DF交直线BE于点G，且，若∠BCD＝130°，则∠EGD的大小为　 　度．

Answer 1

【答案】（1）△ABE∽△ADF；（2）50．

【解析】

探究：（1）根据矩形的性质得到∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠EAB=∠DAF，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据相似三角形的性质得到∠ADF=∠ABE，根据对顶角相等得到∠AHD=∠BHG，根据三角形的内角和即可得到结论；拓展：根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，求得∠ABC=180°-∠C=50°，∠ADF=∠2，根据相似三角形的性质得到∠ADF=∠3，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到结论．

探究：（1）在矩形ABCD中，

∵∠BAD＝90°，

∵∠AEF＝90°，

∴∠EAB+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝90°，

∴∠EAB＝∠DAF，

∵，

∴△ABE∽△ADF；

（2）∵△ABE∽△ADF，

∴∠ADF＝∠ABE，

设AB与DG的交点为H，

∵∠AHD＝∠BHG，

∴∠BGH＝180°﹣∠ABG﹣∠BHG＝180°﹣∠AHF﹣∠ADF＝∠BAD＝90°，

∴DG⊥BE；

拓展：在ABCD中，

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴∠ABC＝180°﹣∠C＝50°，∠ADF＝∠2，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠EAF﹣∠BAF＝∠BAD﹣∠BAF，

即∠EAB＝∠DAF，

∵，

∴△ABE∽△ADF，

∴∠ADF＝∠3，

∴∠2＝∠3，

∵∠ABC＝180°﹣∠GBC﹣∠3，∠EGD＝180°﹣∠GBD﹣∠2，

∴∠EGD＝∠ABC＝50°，

故答案为：50．