Question

【题目】已知，在△ACB和△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC，M为DE的中点，联结BE．

(1)如图1，当点A、D、E在同一直线上，联结CM，求证：CM＝；

(2)如图2，当点D在边AB上时，联结BM，求证：BM2＝()2+()2．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

（1）先证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质得出，AD＝BE，得出AE﹣AD＝AE﹣BE＝DE，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CM＝DE，即可得出结论；

（2）同（1）得：△ACD≌△BCE，得出AD＝BE，∠DAC＝∠EBC＝45°，得出∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝90°，由勾股定理得出DE2＝BE2+BD2，由直角三角形斜边上的中线性质得出DE＝2BM，即可得出结论．

(1)∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，

∴∠ACD＝∠BCE＝90°﹣∠DCB，∠BAC＝∠ABC＝45°，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴AD＝BE，

∴AE﹣AD＝AE﹣BE＝DE，

∵M为DE的中点，∠DCE＝90°，

∴CM＝ (AE﹣AD)＝；

(2)同(1)得：△ACD≌△BCE，

∴AD＝BE，∠DAC＝∠EBC＝45°，

∴∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝90°，

∴DE2＝BE2+BD2，

∵M为DE的中点，

∴DE＝2BM，

∴4BM2＝BE2+BD2＝AD2+BD2，

∴BM2＝．