Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx过A(4，0)，B(1，-3)两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

（1)求抛物线的表达式；

（2)点P是抛物线上一动点，当ΔABP的面积为3时，求出点P的坐标；

（3)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，点R是坐标平面内一点，当以点C、M、N、R为顶点的四边形为正方形时，请直接写出此时点R的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2－4x．（2）P点坐标为（，），（，），（2，-4），（3，-3）．（3）R点坐标为（4，-1）、（-2，-5）、（6，2）、（0，-2）．

【解析】

（1）把A、B两点代入解析式即可求得

（2）设直线的解析式，代入点可得到y=x-4，通过点P作y轴的平行线，则可利用已知三角形的面积求解

（3）分类讨论：①当M为直角顶点时，M在x轴下方时；②当M为直角顶点时，M在x轴上方时；③当N为直角顶点时，且N在x轴负半轴时；④当N为直角顶点时，且N在x轴正半轴时；⑤当C为直角顶点时，此种情况不存在

（1）∵抛物线y=ax2+bx过A(4，0)，B(1，-3)两点，

∴，解得：，

即抛物线的解析式为：y=x2－4x．

（2）设直线AB的解析式为：y=kx+c，

将A(4，0)，B(1，-3)两点代入得：

∴，解得：，

即直线AB的解析式为y=x-4，

过点P作PE∥y轴交直线AB于E，

则S△ABP=PE×（4-1）=PE，

∵S△ABP=3，

∴PE=3，即PE=2，

设P（m，m2-4m），则H（m，m-4），

∴m2-4m-（m-4）=2或m-4-（m2-4m）=2，

解得：m= 或m= 或m=2或m=3，

所以P点坐标为（，），（，），（2，-4），（3，-3）．

（3）当△CMN为等腰直角三角形时，可找到点R，使得以点C、M、N、R为顶点的四边形为正方形．

①当M为直角顶点时，M在x轴下方时，

易证△MNH≌△CMB，

由C（3，-3）得：BC=HM=2，

∴BM=NH=1，即N（2，0），M（1，-2）

此时R（4，-1）；

②当M为直角顶点时，M在x轴上方时，

同理可得：BC=HM=2，BM=NH=5，即M(1，2)，N（-4，0），C（3，-3）

此时R（-2，-5）；

③当N为直角顶点时，且N在x轴负半轴时，

同理得：NH=NQ=3，QC=HM=5，即N（-2，0）M（1，5）C（3，-3）

此时R（6，2）；

④当N为直角顶点时，且N在x轴正半轴时，

同理得：NH=CQ=3，QN=HM=1，即N（4，0）M（1，1）C（3，-3）

此时R（0，-2）；

⑤当C为直角顶点时，此种情况不存在

综上所述，R点坐标为（4，-1）、（-2，-5）、（6，2）、（0，-2）．