Question

某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在⊙O₁和扇形O₂CD中，⊙O₁与O₂C、O₂D分别相切于A、B，∠CO₂D=60°，直线O₁O₂与⊙O₁、扇形O₂CD分别交于E、F两个点，EF=24cm，设⊙O₁的半径为xcm，

（1）用含x的代数式表示扇形O₂CD的半径；
（2）若⊙O₁和扇形O₂CD两个区域的制作成本分别为0.45元／cm²和0.06／cm²元，当⊙O₁的半径为多少时，该玩具成本最小？

Answer 1

（1）（24－3x）cm；（2）4cm

试题分析：（1）连接O₁A.根据切线的性质可得O₁A⊥O₂C，O₂E平分∠CO₂D，由∠CO₂D=60°可得∠AO₂O₁=∠CO₂D=30°，在Rt△O₁AO₂中，根据∠AO₂O₁的正弦函数可表示出O₁O₂的长，从而得到结果；
（2）设该玩具的制作成本为y元，根据“⊙O₁和扇形O₂CD两个区域的制作成本分别为0.45元／cm²和0.06／cm²元”，再结合圆的面积公式、扇形的面积公式根据二次函数的性质求解即可.
（1）连接O₁A.

∵⊙O₁与O₂C、O₂D分别切一点A、B，
∴O₁A⊥O₂C，O₂E平分∠CO₂D.
∵∠CO₂D=60°，
∴∠AO₂O₁=∠CO₂D=30°.
在Rt△O₁AO₂中，，
∴O₁O₂=AO₁sin∠AO₂O₁ =xsin30°=2x.   
∵EF=24cm，
∴FO₂=EF－EO₁－O₁O₂=24－3x，即扇形O₂CD的半径为（24－3x）cm；
（2）设该玩具的制作成本为y元，由题意得

∴当x=4时，y的值最小
答：当⊙O₁的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小。
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．