Question

已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．

（1）求证：△ABM≌△DCM；

（2）填空：当AB：AD=　　时，四边形MENF是正方形．

Answer 1

       （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠A=∠D=90°，

∵M为AD的中点，

∴AM=DM，

在△ABM和△DCM中

∴△ABM≌△DCM（SAS）．

（2）解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，

理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，

∴AB=AM=DM=DC，

∵∠A=∠D=90°，

∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，

∴∠BMC=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠DCB=90°，

∴∠MBC=∠MCB=45°，

∴BM=CM，

∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，

∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，

∴四边形MENF是平行四边形，

∵ME=MF，∠BMC=90°，

∴四边形MENF是正方形，

即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，