Question

如图，四边形ABCD是菱形，点C的坐标是（2，）．以点C为顶点的抛物线y=ax²+bx+c恰好经过x轴上A、B两点．
（1）A、B、D三点的坐标．
（2）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数解析式．
（3）若一动点P自OD中点N出发，先到达x轴上某点（设为点E）再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F）最后运动到点D，求使点P运动的总路径最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵以点C为顶点的抛物线y=ax²+bx+c恰好经过x轴上A、B两点，
∴CM为抛物线的对称轴，
∴CM⊥AB，
∵点C的坐标是（2，），
∴CD=AB=BC=AD=2，CM=，
∴sin∠ABC==，
∴∠ABC=60°，
∴∠ODA=30°，
∴OA=1，OD=，
∴OB=OA+AB=3，
∴点A坐标为（1，0），点B坐标为（3，0），点D坐标为（0，）；

（2）设A、B、C三点的抛物线对应的函数解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂），
把A，B点的坐标代入得：y=a（x-1）（x-3），
再把C点的坐标代入得：=a（2-1）（2-3），
解得：a=-，
所以；

（3）如图，作D关于x=2的对称点D′，作N关于x轴对称的N′连接N′D′，交x轴于点E，交x=2于点 F，则E、F为所求点．
∵DD′=4，DN′=，
∴D′N′==，
这个最短总路径的长为．
分析：（1）由菱形的性质和已知点C的坐标即可求出A、B、D三点的坐标；
（2）设A、B、C三点的抛物线对应的函数解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂）把A，B，C点的坐标代入即可得到抛物线的解析式；
（3）根据两点之间线段最短和轴对称的性质来求解．可做C点关于直线x=2的对称点D′，做N点关于x轴的对称点N′，连接N′D′．那么E、F就是直线N′D′与x轴和抛物线对称轴的交点，利用勾股定理求出长度即可．
点评：此题主要考查了菱形的性质，用待定系数法求二次函数解析式以及利用对称求最小值问题和勾股定理和锐角三角函数等知识，利用根据两点之间线段最短和轴对称的性质来求解是解题关键．