Question

2．已知：如图，△ABC是腰长为12cm的等腰三角形，底边BC=6cm，动点P、Q、M同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC、CA方向匀速移动，点P、点M的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，当点P到达点B时，Q、M两点停止运动，设点P的运动时为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形；
（2）设四边形PBQM的面积为y（cm²），求y与t的关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形PBQM的面积与△ABC的面积之比是13：18？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（4）四边形PBQM在变化过程中能否成为平行四边形，如果能，求出t的值；如果不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）分两种情况讨论：①如图1，当∠PQB=90°时，②如图2，当∠BPQ=90°时，分别作两三角形对应高线，利用勾股定理列方程可以求出t的值；
（2）四边形PBQM的面积等于=S_△ABC-S_△APM-S_△QCM，分别作出△APM和△QMC的高线，根据同角的三角函数值表示出PE和MD的值，代入面积公式可以求出y与t的关系式；
（3）将（2）式求出的关系式与△ABC面积的比等于13：18列式，解方程即可，有解则存在；
（4）能成为平行四边形，如图4，根据等角对等边得AP=AM列式，求出t的值．

解答 解：（1）由题意得：AP=2t，BQ=t，则BP=12-2t，
分两种情况：①如图1，当∠PQB=90°时，过A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{1{2}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{15}$，
∵PQ∥AD，
∴$\frac{BQ}{BD}=\frac{PQ}{AD}$，
∴$\frac{t}{3}=\frac{PQ}{3\sqrt{15}}$，
∴PQ=$\sqrt{15}$t，
由勾股定理得：（12-2t）²=t²+（$\sqrt{15}$t）²，
解得：t₁=-6（舍），t₂=2；
②如图2，当∠BPQ=90°时，过C作CD⊥AB于D，
设AD=x，则BD=12-x，
由勾股定理得：AC²-AD²=BC²-BD²，
则12²-x²=6²-（12-x）²，
解得：x=$\frac{21}{2}$，
∴AD=$\frac{21}{2}$，BD=12-$\frac{21}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{15}}{2}$，
∵PQ∥CD，
∴$\frac{BQ}{BC}=\frac{PQ}{CD}$，
∴$\frac{t}{6}=\frac{PQ}{\frac{3\sqrt{15}}{2}}$，
∴PQ=$\frac{\sqrt{15}}{4}$t，
由勾股定理得：t²=（12-2t）²+（$\frac{\sqrt{15}}{4}$t）²，
解得：t₁=$\frac{48}{7}$＞6（舍），t₂=$\frac{16}{3}$，
综上所述，当t=2或$\frac{16}{3}$时，△PBQ是直角三角形；
（2）如图3，过P作PE⊥AC于E，过M作MD⊥BC于D，
由（1）得：$\frac{PE}{2t}=\frac{\frac{3\sqrt{15}}{2}}{12}$，$\frac{MD}{2t}=\frac{3\sqrt{15}}{12}$，
∴PE=$\frac{\sqrt{15}}{4}$t，MD=$\frac{\sqrt{15}}{2}$t，
∴y=S_△ABC-S_△APM-S_△QCM，
=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{15}$-$\frac{1}{2}$AM•PE-$\frac{1}{2}$QC•MD，
=9$\sqrt{15}$-$\frac{1}{2}$（12-2t）×$\frac{\sqrt{15}}{4}$t-$\frac{1}{2}$（6-t）×$\frac{\sqrt{15}}{2}$t，
=$\frac{\sqrt{15}}{2}{t}^{2}$-3$\sqrt{15}$t+9$\sqrt{15}$（0≤t≤6）；
（3）存在，由题意得：
$\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}{t}^{2}-3\sqrt{15}t+9\sqrt{15}}{9\sqrt{15}}$=$\frac{13}{18}$，
解得：t₁=1，t₂=5；
（4）如图4，当PM∥BC，QM∥AB时，四边形PBQM为平行四边形，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵PM∥BC，
∴∠APM=∠B，∠AMP=∠C，
∴∠APM=∠AMP，
∴AP=AM，
∴2t=12-2t，
t=3，
∴四边形PBQM在变化过程中能成为平行四边形，此时t的值为3．

点评 本题是四边形的综合题，考查了等腰三角形、直角三角形、平行四边形的性质和判定；如果动点组成直角三角形时，要分三种情况进行讨论，本题是两个动点，一个定点组成直角三角形，所以分两种情况进行讨论即可；求不规则多边形的面积时，可以连线将其分成若干个规则图形或利用差来求．