Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，∠ABC=90°，AB=BC，OA=1，OB=4，抛物线经过A、C两点．
（1）求抛物线的解析式及其顶点坐标；
（2）如图①，点P是抛物线上位于x轴下方的一点，点Q与点P关于抛物线的对称轴对称，过点P、Q分别向x轴作垂线，垂足为点D、E，记矩形DPQE的周长为d，求d的最大值，并求出使d最大值时点P的坐标；
（3）如图②，点M是抛物线上位于直线AC下方的一点，过点M作MF⊥AC于点F，连接MC，作MN∥BC交直线AC于点N，若MN将△MFC的面积分成2：3两部分，请确定M点的坐标．

Answer 1

（1），（1，-4）

试题分析：
（1）考查求解抛物线的能力，利用点在抛物线上代入即可得解，再求出顶点坐标.
（2）考查数形结合的能力，利用点在抛物线上，设出P点，写出Q点，得出矩形DPQE的周长为d关于所设变量的函数，再利用二次函数的性质即可得解.
（3）进一步考查数形结合的能力，过点F作FH⊥MN于H，过C作CG⊥MN于G，利用面积比的关系即可得解，注意解值的有意义.
试题解析：
（1）由已知得：A（-1，0）、C（4，5）
∵二次函数的图像经过点A（-1，0）C(4,5)
∴     解得 
∴抛物线解析式为 
∵   
∴顶点坐标为（1，-4）     

（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线x=1
设点P为（（t，），
∵P、Q为抛物线上的对称点
∴
当时，

∵
∴当t=2使，d有最大值为10，即点P为（2，-3）
当时，由抛物线的轴对称性得，点P为（0，-3）时，d有最大值10
综上，当P为（0，-3）或（2，-3）时，d有最大值10

（3）过点F作FH⊥MN于H，过C作CG⊥MN于G，则∠ANM=∠ACB=45°
∵MF⊥AC
∴     ∴
∵A(-1，0)，C(4，5）
∴直线AC解析式为y=x+1
设点M为（m，），其中，则CG=4－m
由MN∥BC得点N为（m，m+1）
∴
当时，有3MN=4CG   即
解得：  （舍去）
∴点M为 
当时，有2MN=6CG   即
解得：   （舍去）
∴点M为（2，-3） 
∴ 综上，当M为、（2，-3）