实验与操作:在Rt△ABC中.∠ABC=90°.∠ACB=30°.将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到Rt△AB′C′(点B′.C′分别是点B.C的对应点).设旋转角为α.旋转过程中直线B′B和线段CC′相交于点D猜想与证明,(1)如图1.当AC′经过点B时.探究下列问题:①此时.旋转角α的度数为60°．②判断此时四边形AB′DC的形状.并证明你的猜想,(2)如图2.当旋转� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．实验与操作：
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到Rt△AB′C′（点B′，C′分别是点B，C的对应点），设旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中直线B′B和线段CC′相交于点D
猜想与证明；
（1）如图1，当AC′经过点B时，探究下列问题：
①此时，旋转角α的度数为60°．②判断此时四边形AB′DC的形状，并证明你的猜想；
（2）如图2，当旋转角α=90°时，求证：CD=C′D；
（3）如图3，对任意旋转角0°＜α＜180°，连接AD，判断线段AD与CC′之间的位置关系（直接写出结论，不必证明）

分析（1）如图1中，四边形AB′DC是平行四边形．只要证明△ABB′，△ACC′是等边三角形，即可推出AC∥B′D，AB′∥CC′，由此即可解决问题．
（2）如图2中，设AC与DB′交于点O，连接AD．想办法证明AD⊥CC′即可解决问题．
（3）结论：AD⊥CC′．证明方法类似（2）．

解答解：（1）如图1中，四边形AB′DC是平行四边形．理由如下：

∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴∠CAB=∠C′AB′=60°，
∴旋转角为60°，
∵AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′的等边三角形，
∴∠ABB′=∠CAB=60°，
∴AC∥B′D，
∵AC=AC′，∠CAC′=60°，
∴△CAC′是等边三角形，
∴∠CC′A=∠B′AC′=60°，
∴AB′∥CC′，
∴四边形AB′DC是平行四边形．
故答案为60°

（2）如图2中，设AC与DB′交于点O，连接AD．

∵AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，
∴∠AB′B=∠ABB′=∠ACC′=∠AC′C，
∵∠AB′O=OC′D，∠AOB′=∠DOC′，
∴△AOB′∽△DOC′，
∴$\frac{AO}{DO}$=$\frac{OB′}{OC′}$，∠AB′B=∠ACD，
∴$\frac{AO}{OB′}$=$\frac{DO}{OC′}$，∵∠AOD=∠B′OC′，
∴△AOD∽△B′OC′，
∴∠DAO=∠OB′C′，
∵∠AB′O+∠OB′C′=90°，
∴∠DAO+∠DC′O=90°，
∴∠ADC′=90°，
∴AD⊥CC′，
∵AC=AC′，
∴CD=DC′．

（3）结论：AD⊥CC′．
理由：如图3中，设AC与DB′交于点O，连接AD．

∵AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，
∴∠AB′B=∠ABB′=∠ACC′=∠AC′C，
∵∠AB′O=OC′D，∠AOB′=∠DOC′，
∴△AOB′∽△DOC′，
∴$\frac{AO}{DO}$=$\frac{OB′}{OC′}$，∠AB′B=∠ACD，
∴$\frac{AO}{OB′}$=$\frac{DO}{OC′}$，∵∠AOD=∠B′OC′，
∴△AOD∽△B′OC′，
∴∠DAO=∠OB′C′，
∵∠AB′O+∠OB′C′=90°，
∴∠DAO+∠DC′O=90°，
∴∠ADC′=90°，
∴AD⊥CC′，

点评本题考查三角形综合题、旋转变换、30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．

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