如图.在Rt△ABC中.∠B=Rt∠.直角边AB.BC的长是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发.以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动.运动时间为t(秒)．(1)求AB与BC的长,(2)当点P运动到边BC上时.试求出使AP长为$\sqrt{10}$时运动时间t的值,(3)点P在运动的过程中.是否存在点P.使△ABP是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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6．如图，在Rt△ABC中，∠B=Rt∠，直角边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x²-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．
（1）求AB与BC的长；
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为$\sqrt{10}$时运动时间t的值；
（3）点P在运动的过程中，是否存在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）解方程x²-7x+12=0，即可求出AB与BC的长；
（2）由题意列出方程${3^2}+{（t-3）^2}=\sqrt{10}$，解方程即可得出结论；
（3）存在点P，使△ABP是等腰三角形，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质分三种情况讨论，求出t的值即可．

解答解：（1）∵x²-7x+12=（x-3）（x-4）=0，
∴x₁=3或x₂=4．
则AB=3，BC=4，

（2）由题意得${3^2}+{（t-3）^2}=\sqrt{10}$，
∴t₁=4，t₂=2（舍去）
则t=4时，AP=$\sqrt{10}$，

（3）存在点P，使△ABP是等腰三角形．
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，根据勾股定理得，AC=5，
①当AP=AB=3时，如图1，
，
∴PC=AC-AP=5-3=2，
∴点P运动路程是AB+BC+PC=3+4+2=9，
∴t=9（秒）．
②当BP=BA=3时，如图2，

当P在AC上时，
过点B作BD⊥AC于D，
根据△ABC的面积得，$\frac{1}{2}$BD•AC=$\frac{1}{2}$AB•BC，
∴BD=$\frac{12}{5}$
在Rt△ABD中，AB=3，BD=$\frac{12}{5}$，
根据勾股定理得，AD=$\frac{9}{5}$，
∴PC=AC-2AD=$\frac{7}{5}$，
∴点P运动的路程为AB+BC+PC=3+4+$\frac{7}{5}$=$\frac{42}{5}$，
∴t=$\frac{42}{5}$（秒）
当P在BC上时，如图3，
，
∴点P运动的路程为AB+BP=3+3=6，
∴t=6（秒）
③当BP=AP （即P为AC中点时），
∴t=9.5（秒）
可知当t为9秒或9.5秒或6（秒）或$\frac{42}{5}$（秒）时，△ABP是等腰三角形．

点评此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程的方法，解（1）的关键是掌握一元二次方程的解法，解（2）的关键是建立方程求解，解（3）的关键是分类讨论．

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