Question

11．已知：如图，在Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，D为BC边上一点，过点A作
AE∥BC，交DO的延长线于点E．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）连结OB，如果OB⊥AD，求证：AD•AB=AC•BD；
（3）在（2）的条件下，若$\frac{BD}{AD}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，AC=10，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明四边形ADCE是平行四边形，只要证明OA=OC，OD=OE即可．
（2）欲证明AD•AB=AC•BD，只要证明△ABD∽△CBA即可．
（3）由AD•AB=AC•BD，得$\frac{BD}{AD}$=$\frac{AB}{AC}$，根据$\frac{BD}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求出AC=10，再根据△ABD∽△CBA，得$\frac{BD}{BA}$=$\frac{AB}{CB}$，求出BD即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AE∥BC，
∴∠1=∠2，
∵O是AC中点，
∴OA=OC，
在△AOE和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠AOE=∠DOC}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COD，
∴OE=OD，∵OA=OC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
（2）证明：在RT△ABC中，∵OA=OC，
∴OB=OC=OA，
∴∠4=∠3，
∵∠ABD=90°，
∴∠6+∠4=90°，
∵OB⊥AD，
∴∠5+∠6=90°，
∴∠4=∠5，
∴∠3=∠5，∵∠ABD=∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴$\frac{AD}{CA}$=$\frac{BD}{BA}$，
∴AD•AB=AC•BD．
（3）解：∵AD•AB=AC•BD，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{AB}{AC}$，
∵$\frac{BD}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，AC=10，
∴AB=2$\sqrt{5}$，
∴BC=4$\sqrt{5}$，
∵△ABD∽△CBA，
∴$\frac{BD}{BA}$=$\frac{AB}{CB}$，
∴$\frac{BD}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$，
∴BD=$\sqrt{5}$，
∴AE=CD=3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查相似形综合题、直角三角形斜边中线性质、平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形，利用相似三角形的性质列出比例式，求出相应的线段，属于中考压轴题．